什么是数学？如果你对街上遇到的第一个人提出这个问题，你听到的回答极有可能是：“数学就是数的研究。
” 如果你坚持要求回答者说得更详细些，也许会听到这样的意见：“数学是研究数的科学。
” 你所得到的回答也许只能到此为止，然而这样的描述显然并不令人满意。它已经过时 2500 年了！
从那时起，问题 “数学是什么” 的答案已经改变了好几次。
直到公元前 500 年左右，数学确实是研究数的。古埃及、
巴比伦乃至古代中国的数学几乎完全是只讲算术的。这很大程度上是出于功利，
而且非常像是某种类型的 “烹饪书”。（对一个数如此这般进行运算，从而得出答案。）
在公元前 500 年到公元 300 年这一时期，数学大大地扩张了，超越了研究数的范围。
古希腊的数学家更多地考虑几何问题。他们甚至用几何的方式把数看作对长度的测量。
当他们发现存在着一些同他们心目中的 “数” 对应不起来的长度（他们称之为 “无理长度”）时，
对数的研究就基本上停滞不前了。由于比较重视几何，对希腊学者来说，数学就是研究数与形的学问。
正是希腊人使数学的面貌有了很大改变，从测量、计数、
计算等技巧的集合转变为带有美学与宗教色彩的学院课程。在希腊时期之初，泰勒斯 (Thales，
约前 625— 约前 547) 引入一种观念：精确陈述的数学论断可以通过形式论证加以逻辑证明。
对希腊人来说，这种方法在公元前 350 年左右达到了顶峰，那时出版了篇幅多达十三卷的煌煌巨著，
欧几里得 (Euclid，前 330— 前 275) 的《几何原本》(Elements)，
据说是除了《圣经》以外始终传播最广的一部经典名著。
希腊人之后，尽管数学在世界上的一些地方 —— 特别是在阿拉伯世界与中国 —— 取得进展，
但其本质并未改变，直到 17 世纪中叶，英国的牛顿爵士 (Sir Isaac Newton) 与德国
的莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 各自独立地发明了微积分。
从本质上说，微积分是研究运动与变化的。微积分问世之前，数学很大程度上被局限于静态的计数、
测量与描述形状。处理运动与变化的新手段让数学家可以研究天上的行星与地上的落体的运动，机械的运转，
液体的流动，气体的扩散，电、磁等各种物理力，飞行方式，动植物的生长，流行病的传播，以及收益的波动等。
数学也成了研究数、形、运动、变化与空间的学问。
刚开始，微积分主要面向物理研究，许多伟大的 17 世纪与 18 世纪数学家同时也是物理学家。
但从 1750 年往后，对数学理论的兴趣一浪高过一浪，不光是关注其应用，
数学家还迫切地寻求微积分巨大威力的背后究竟隐藏着什么东西。到了 19 世纪末，数学成了研究数、形、
运动、变化、空间，以及用于研究工作的数学工具的学问。这就是现代数学的滥觞。
20 世纪数学活动的壮大可一言以蔽之：知识爆炸。1900 年时，
世界上所有的数学知识可以塞进约 1000 本书里。时至今日，
也许需要用 10 万卷书才能包罗一切已知的数学知识。
不仅已有的学科分支（例如几何与微积分）在继续茁壮成长，而且许多新的分支也纷纷涌现。在世纪之交①，
数学已由 12 个大的分支学科组成，包括算术、几何、微积分等等。
目前大约拥有 60 至 70 个不同的小类。有些分支学科，例如代数与拓扑学，
还在继续细分中；另外的一些，例如复杂性理论与动态系统理论，则是全新的。