归谬法与间接证明是两种不同
但彼此相关的推理方法。
归谬法是从一个假设出发，
推出明显荒谬的结论，从而否定该假设。
“归为荒谬” 是一种数学方法，
它和讽刺文学里的反讽很相似。
反讽先表面接受某种观点，
不断强调，直到导出明显的荒谬。
间接证明则是通过证明反面假设不成立，
来确定原命题是正确的。
因此，间接证明有点像政客
通过打击对手来树立自己。
这两种方法都是很有效的发现工具，
善于思考的人会自然想到。
但有些哲学家和很多初学者不喜欢它们，
这是可以理解的。
不是所有人都喜欢讽刺和带有技巧的论证。
我们先用例子说明这两种方法的作用，
再讨论对它们的批评。
1. 归谬法
用 0–9 十个数字各一次，写出若干整数，
使它们的和恰好等于 100。
我们可以通过尝试这个问题学到思路，
先把问题说清楚。
未知量是什么？一组整数。
已知是什么？总和是 100。
条件有两部分：
第一，0 到 9 每个数字恰好用一次。
第二，所有数加起来等于 100。
我们先只保留一部分条件，丢掉另一部分。
只满足第一部分很容易，
但通常不满足和为 100。
试了几次都不成功后，
我们会怀疑这件事根本做不到。
于是问题变成：
证明这两个条件不可能同时满足。
成绩很好的学生也可能觉得难，
但思路对了，其实很简单。
我们必须去考察假设
两个条件同时满足的情形。
假设有一组数，和为 100，
且 0–9 每个数字恰好用一次。
0 到 9 所有数字的和是：
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
设十位上的数字之和为 t，
那么个位数字之和就是 45−t。
所有数的总和可以写成：
10t + (45 − t) = 100。
化简得到：9t + 45 = 100，
算出 t = 55/9。
这里明显出现矛盾：
t 必须是整数，但结果不是整数。
从 “两个条件能同时满足” 出发，
我们推出了明显的荒谬。
所以原假设错误，
两个条件不可能同时成立。
这个推理就是典型的归谬法。
2. 评注
我们想证明某个条件不可能实现。
在还没证明之前，
我们必须先假设它有可能成立。
只有认真研究这个假设情形，
才能找到其中确定的矛盾。
在上面例子里，关键一步是列出关于 t 的方程。
就算我们不怀疑题目无解，
也一样能列出这个方程。
我们的态度是开放的：
既可能找到解，也可能证明无解。
以否定命题、证明无解结束的分析，
本质上就是归谬法。
3. 间接证明
质数是大于 1、
不能再分解成更小整数的数。
质数是所有大于 1 的整数
都能分解成的 “基本元素”。
质数序列是无限的，还是会终止？
我们很自然会猜想质数有无穷多个。
如果质数只有有限个，
那么所有整数都只用有限个元素构成。
于是就有这样一个问题：
证明质数有无穷多个。
这个问题不初等，
第一眼看上去很难下手。
但 “存在最后一个质数 P”
这件事极不合理。
我们先假设真的存在最后一个质数 P。
那么我们可以写出全部质数：
2，3，5，7，11，…，P。
构造一个数：
Q = (2・3・5・7・11・…・P) + 1。
Q 比 P 大，
所以按假设 Q 不是质数。
因此 Q 一定可以被某个质数整除。
但 Q 除以 2，3，5，…，P
中任何一个数，余数都是 1。
所以 Q 不能被这些质数整除，
而我们又假设这些是全部质数。
这就出现了矛盾：
Q 要么是质数，要么被某个质数整除。
“存在最后一个质数 P” 的假设错误。
我们就证明了：质数有无穷多个。
这是典型的间接证明，
源自欧几里得《几何原本》。
我们通过否定反面命题来证明原命题，
而否定的方式就是推出荒谬。
于是我们把间接证明
和归谬法结合在一起。
4. 反对意见
我们学习的这两种方法曾遭到很多反对。
很多反对意见，
其实只是同一个核心观点的不同说法。
找到一个不显然的证明，
是很重要的思维成就。
彻底看懂它，也需要花费脑力。
我们希望记住的是真实、正确的东西，
而不是错误与荒谬。
人们觉得很难从归谬法里
留下真正有用的正面知识。
它从一个错误假设出发，
一步步推出更明显错误的结论。
看证明时，每一步都要记清楚，
哪怕出发点本身是错的。
对间接证明的批评也类似：
我们被迫一直盯着一个错误假设，
而不是要记住的正确定理。
我们要区分两种用法：
一种是发现工具，一种是讲解方式。
把归谬法用来讲解，
尤其是很长的证明，并不友好。
每一步逻辑都对，
但整个场景是不可能的。
我们必须把一个不可能的情况
当作下一步推理的基础。
这种内心矛盾会让人很难受。
但因此完全否定归谬法
作为发现工具的价值是愚蠢的。
当其他方法都失效时，
它常常能给出答案。
经验表明：
我们常常可以把间接证明改写成直接证明。
一段很长的归谬法，
也可以整理成更清爽的直接证明。
想充分发挥思维能力，
就应该同时掌握这两种方法。
用任何一种方法做出题后，
都可以再问自己：能换一种方法证明吗？
5. 重构归谬法
我们可以提取推理中
不依赖错误假设的正面内容。
如果用 0–9 各一次，
组成若干一位数和两位数，
那么总和一定是：
10t + (45−t) = 9 (t+5)，必被 9 整除。
题目要求和为 100，
100 不能被 9 整除，因此不可能。
原来的归谬过程
在这个新版证明里完全消失了。
懂 “弃九法” 的读者
一眼就能看懂整个证明。
6. 转化间接证明
“质数有无穷多” 是什么意思？
意思是：随便给你有限个质数 2,3,5,…,P，
你一定能再找到一个新质数。
我们把一道证明题
转化成了一道构造题。
已知质数 2,3,5,…,P，
找出一个和它们都不同的新质数 N。
构造 Q = (2・3・5・…・P) + 1。
取 Q 的任意一个质因数作为 N。
N 一定不是 2,3,5,…,P 中的任何一个，
因为 Q 除以它们都余 1。
于是 N 就是一个新质数。
这个证明给出了构造新质数的步骤，
可以无限延长质数表。
它没有任何间接推理，
也不用任何不可能假设。
但它在本质上
和欧几里得的间接证明完全一样。